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Chapter.114 [ ブロック崩しゲーム9:線分同士の交点 ]

■おさらいと課題

前回は、線分と線分との交差を判定するプロシージャを紹介しました。ベクトルをつかってふたつの線分の交差を判定することで、結果的にブロックとボールとの衝突を判定するというものでした。

今回挑戦するのは、この線分同士の交差が起こった際に、その交点を求めてみようというものです。線分と線分が交差しているということは、どこか一点に必ず交点があります。この交点の座標を求めることによって、ブロック崩しはさらに完成度の高いものになるでしょう。

しかし、どうしてわざわざ交点を求める必要があるのでしょうか。

そもそも線分同士の交差を判定するのは、ボールが素早く移動していても、正しく衝突を判定するためでしたね。シューティングゲームなどのように、重なりを調べるだけの衝突判定では、ブロック崩しを正しく処理するのは難しいです。しかし、線分同士の交差を判定する方法を用いれば、確実に衝突を判定できます。

そして、衝突を判定したあとで考えなければならないのが、衝突したボールをどこに配置するのかということです。

高速で移動するボールは、現実世界では次のように動くはずですね。

660.gif

ブロックに衝突したあと、ほとんど同じ速度のまま反射し、反射したあとの角度の方向へ移動しているはずです。もし、これをプログラムで制御しようと考えた場合には、ボールの入射角と反射角を求め、さらに衝突位置と速度を用いて反射後の位置を計算……などとしなければなりません。これはさすがに荷の重い処理です。

今回は、ここまで厳密な処理を行うことはせず、衝突した位置を計算して求め、その場所にそのままボールを置くように処理してみます。この方法であればそれほど複雑な計算をしなくても、比較的簡単に処理できるからです。

661.gif

要するにまとめると、ボールがブロックと衝突しているかどうかは線分と線分の交差を判定することで求めます。そして、衝突後のボールをどこに置くのかという問題は、線分同士の交点にそのままボールを配置することで解決するわけです。

この方法を用いると、ボールが極端な高速移動をしている場合には、ボールが一瞬ブロックにくっついてしまったように見える場合があります。ただ、実際にはそれほど気にならないと思います。

ちょっと概念的な話になりましたが、理解できたでしょうか。
焦らず、落ち着いて考えてみてくださいね。


■交点を求めるには

交差判定のときもそうでしたが、こういった処理を実現するにはそれなりの数学知識が必要になります。学校で数学を専攻していたとか、ものすごく数学が得意というのなら別ですが、曖昧なままここまで来ている人(私もそうですが)が数学的な意味での交点座標計算を理解するのは大変です。

ここでも、前回同様にまずはプロシージャを披露してしまいます。

Function CrossPoint(x1 As Single, y1 As Single, _
                    x2 As Single, y2 As Single, _
                    x3 As Single, y3 As Single, _
                    x4 As Single, y4 As Single) As Vector
    
    Dim a1 As Single
    Dim a2 As Single
    Dim b1 As Single
    Dim b2 As Single
    Dim c1 As Single
    Dim c2 As Single
    
    a1 = y1 - y2
    a2 = y3 - y4
    b1 = x2 - x1
    b2 = x4 - x3
    c1 = x1 * y2 - x2 * y1
    c2 = x3 * y4 - x4 * y3
    
    CrossPoint.X = (b1 * c2 - b2 * c1) / (a1 * b2 - a2 * b1)
    CrossPoint.Y = (a1 * c2 - a2 * c1) / (a2 * b1 - a1 * b2)
                
End Function

実際には、連立方程式を解くことで交点を算出していますが、ここでむしろ大事なのはこのプロシージャの使い方です。

交差判定のプロシージャと同じように、この交点計算プロシージャもたくさんの引数を持ちます。そして、結果として Vector 型のデータを返すように設計されているのがわかりますね。

Vector 型は、自分で構造体として定義しておく必要がありますが、これは以前の講座で既に実装済みです。(Chapter.109を参照)

プロシージャには、8 つの座標情報を引数として渡します。

x1, y1 …… ひとつ目の線分の始点
x2, y2 …… ひとつ目の線分の終点
x3, x3 …… ふたつ目の線分の始点
x4, y4 …… ふたつ目の線分の終点

これらの情報を渡してこのプロシージャを呼び出すと、結果として Vector 型のデータを返してきます。返された結果の X 要素と Y 要素が、ふたつの線分の交点座標になるというわけですね。

先ほども説明したように、ここで得られた交点座標は、ボールがブロックに衝突した際の処理で使うことになります。前回紹介した交差判定のプロシージャと、今回の交点座標を求めるプロシージャ、これらのふたつのプロシージャを活用することで、比較的制度の高いボール制御が可能になります。

今後講座を進めていく中で必ず登場することになりますので、まずはこのプロシージャの使い方をよく理解しておいてください。



■格言

衝突時のボールの動きを考える
交点を求める理由を理解しておく


数学的な説明をするのは苦手です。だって、自分もよくわかっていない部分があるんですもの(笑)



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